January 18th, 2020

Равномерно темперированный строй и натуральные музыкальные интервалы

В последнее время возникло желание "подчистить хвосты", разобрать старые черновики и вынести на свет то из них, что достойно какого-то внимания. От военной темы перехожу, неожиданно, к музыке. Меня как технаря и музыканта-любителя в своё время поразило, что за музыкой стоит вполне стройная математическая теория, которую практически никто не изучает, но которая может помочь лучше разбираться в музыкальных терминах (которые для технаря, чаще всего, бессвязный тёмный лес) и в том, как вообще устроена музыка. Тут тезисно распишу свои "открытия" по теории музыки, не претендуя на научную точность и оригинальность.

1) Музыкальные звуки и ноты.
Звук, как известно, это колебания воздуха. Музыкальный звук - колебания определённой частоты, каждой ноте соответствует своя частота. Например, нота ля первой октавы - 440 Герц. Ещё в древности люди заметили, что равномерно колеблющееся с постоянной частотой тело (например, струна) создаёт красивый звук. Собственно, это и были музыкальные звуки. Более того, эти звуки можно было комбинировать, так и появилась музыка. Человеческое ухо способно распознать колебания в диапазоне примерно 20 - 20 000 Герц, но на практике крайние значения используются редко, в основном берутся ноты с частотами 100 - 1000 Герц.

2) Интервалы.
Пусть у нас есть два музыкальных звука, две ноты с частотами, соответственно, f1 и f2. Тогда интервалом между ними будет называться число f1/f2. Опять-таки, в древности заметили, что если интервал между двумя нотами равен простой дроби (например, 3/2, 4/3 или вообще равен целым числам 2, 3, и т. п.), то комбинация этих нот звучит красиво (например, если сыграть эти 2 ноты последовательно или одновременно). Такие интервалы, равные простым дробям, называются натуральными.

Конечно, в древности ещё не знали о частоте колебаний воздуха. Но дело в том, что эта частота пропорциональна размеру колеблющегося тела. К примеру, если мы возьмём одну струну в 2 раза короче другой, то она будет колебаться с частотой в 2 раза больше другой (а можно не брать другую струну, а так зажать эту, чтоб колебалась лишь её половина – так устроена, например, гитара). То есть интервал между их нотами будет равен f1/f2=2. Такой интервал называется "октава". Другие интервалы также имеют названия (например, 4/3 - натуральная кварта и т. п.).

3) Современный обычный строй музыкальных инструментов.
Большинство музыкальных инструментов не дают сыграть звук произвольной частоты. Они имеют клавиши (или лады, в случае гитары), каждой из которых соответствует определённая частота. Давайте поймём, что это за частоты. Возьмём для наглядности клавиши пианино.

Пускай частота ноты "до" будет равна равна f0. Интервал между нотами до первой и второй октавы - одна октава, то есть, f(до второй октавы)/f0 = 2. Между ними - 11 нот (если посчитать чёрные и белые клавиши), которые разделяет одинаковый интервал - полутон. Итого, получаем, что между "до" первой и второй октавы - 12 полутонов. Путём нехитрых математических вычислений получаем что полутон - интервал, равный корню 12й степени из 2. Такими же нехитрыми подсчётами получаем, что если между двумя нотами интервал в S полутонов, то в числовом выражении этот интервал равен корню 12й степени из 2 в степени S

Кстати, мы тут могли выбрать не "до", а любую другую ноту. Такая же нота следующей октавы будет отстоять от неё ровно на 12 полутонов и интервал от неё до начальной ноты будет равен 2 (поэтому, например, 12-й лад гитары делит струну пополам). Можем теперь посмотреть на другие известные интервалы - кварта, квинта. Кварта (чистая) = 2,5 тона = 5 полутонов = корень 12й степени из 2 в степени 5 = 1,3348..., что примерно равно натуральной кварте (4/3 = 1,3333....). Таким образом, в нашем нынешнем строе мы получаем очень хорошее приближение красивого натурального интервала.

3a) Значение интервала в центах
Collapse )